a. Tên nhiệm vụ: Các định lý minimax cho hàm đa trị trên dàn đầy đủ
b. Đơn vị chủ trì: Khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại học Thủ Dầu Một
c. Chủ nhiệm đề tài: Tiến sỹ Võ Viết Trí và cá nhân tham gia chính:
1. Tiến sĩ Nguyễn Xuân Hải
2. Tiến sĩ Nguyễn Hồng Quân
d. Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm phát triển một số dạng mở rộng của định lý minimax cũng như một số vấn đề liên quan.
đ. Kết quả nghiên cứu (tóm tắt)
Định lý minimax là dạng định lý đưa ra các điều kiện đủ để bất đẳng thức minimax trở thành đẳng thức minimax. Định lý đầu tiên theo nghĩa trên được Von Neumann đưa ra năm 1928, được xem như cơ sở cho lý thuyết trò chơi - khi mà nghiệm minimax được xem như nghiệm cân bằng của trò chơi có tổng không. Dạng cổ điển của định lý minimax do Von Neumann đưa ra được xét cho hàm đơn trị trên không gian hữu hạn chiều. Từ đó đến nay các dạng mở rộng của định lý này được sự quan tâm nghiên cứu rộng rãi ở Việt Nam cũng như trên thế giới, sự mở rộng có thể là từ hàm đơn trị thành hàm đa trị hay từ không gian hữu hạn chiều ra các dạng không gian khác.
Ngoài ra các định lý minimax còn được ứng dụng nhiều vào lý thuyết tối ưu. Chính vì các áp dụng phong phú và quan trọng trên mà các nghiên cứu này đã hình thành nên nghành lý thuyết minimax và hiện nay vẫn còn đang phát triển. Mục đích của đề tài này nhằm phát triển một số dạng mở rộng của định lý minimax cùng như một số vấn đề liên quan.
Bởi vậy, trong trường hợp này nếu đẳng thức minimax thỏa cho F thì nó được viết dưới dạng:
Một điều kiện để có đẳng thức kiểu (1) được thiết lập lần đầu trong [2], trong khi các điều kiện đủ để có đẳng thức dạng (2) đã được đưa ra gần đây bởi vài tác giả. Bài báo này thiết lập vài kết quả mới cho sự tồn tại điểm yên ngựa và đẳng thức minimax (1) được thỏa.
Để chứng minh các kết quả chính của đề tài, tác giả đã dùng định lý:
Định lý 1.1: Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường và G : X → 2 X là ánh xạ đa trị thỏa các điều kiện sau:
Sau đây là một số dạng của định lý minimax:
Định lý 1.2: Giả sử X, Y là các tập con khác rỗng của các không gian tôpô vectơ Hausdorff thực. Giả sử ánh xạ đa trị F: X x Y →
2R là nửa liên tục dưới trên X và nửa liên tục trên trên Y; với mọi (1).bmp)
là compact, khác rỗng và các điều kiện sau đây thỏa mãn:
Trong đề tài này tác giả đã xây dựng được các định lý minimax và định lý về điểm yên ngựa cho ánh xạ đa trị trên nửa dàn tôpô. Theo nhận định của nhóm tác giả thì chưa có các nghiên cứu về trường hợp này khi không gian nền là một dàn tôpô. Vì vậy kết quả của đề tài là mới và còn nhiều khả năng để phát triển cũng như ứng dụng vào các lĩnh vực khác.
e. Thời gian thực hiện: 12 tháng
- Thời gian bắt đầu: 10/2015
- Thời gian kết thúc: 10/2016
f. Kinh phí: 51.304.000 đồng
Có thể tìm đọc toàn văn Báo cáo kết quả nghiên cứu nhiệm vụ tại Trung tâm Thông tin và Thống kê khoa học và công nghệ./.